iOS10の今のバージョンからは課金しないとバックグラウンド同期ができなくなったようです。 1.xの時に課金していた人は2.xでも同期できていたのですが、 今のバージョンでは2.x用に課金する必要があるようです。 デスクトップアプリとの同期が便利だったのですが、デスクトップアプリのない類似アプリをしばらく使ってみることにしました。
犬山犬恵 about Due - Reminders & Timers, v2.3.2